La formule
x̄ ≈ Σ(nᵢ × cᵢ) ÷ N, avec cᵢ = (borne inférieure + borne supérieure) ÷ 2nᵢ : effectif de la classe · cᵢ : centre de la classe · N : effectif total
Le signe ≈ rappelle qu’il s’agit d’une approximation : la vraie moyenne des données brutes peut différer légèrement.
La méthode pas à pas
- Calculez le centre de chaque classe : pour [10 ; 20[, c = 15.
- Multipliez chaque centre par l’effectif de la classe.
- Additionnez ces produits, puis les effectifs.
- Divisez la somme des produits par l’effectif total.
| Classe (minutes) | Centre cᵢ | Effectif nᵢ | nᵢ × cᵢ | Effectif cumulé |
|---|---|---|---|---|
| [0 ; 10[ | 5 | 18 | 90 | 18 |
| [10 ; 20[ | 15 | 31 | 465 | 49 |
| [20 ; 30[ | 25 | 24 | 600 | 73 |
| [30 ; 60[ | 45 | 27 | 1 215 | 100 |
| Total | 100 | 2 370 |
Calcul
Moyenne estimée : 2 370 ÷ 100 = 23,7 minutes.
Les classes n’ont pas toutes la même amplitude (la dernière couvre 30 minutes) : ce n’est pas un problème pour la moyenne, chaque classe étant représentée par son propre centre.
Une fois les centres calculés, le tableau se traite exactement comme un tableau de valeurs avec effectifs : voir la moyenne avec effectifs.
Pourquoi le résultat n’est qu’une estimation
Remplacer chaque valeur par le centre de sa classe revient à supposer que, dans chaque classe, les valeurs sont réparties de façon équilibrée autour du centre. Si dans la classe [30 ; 60[ la plupart des trajets durent en réalité 35 ou 40 minutes, la moyenne réelle sera inférieure à 23,7. L’erreur est d’autant plus faible que les classes sont étroites et nombreuses.
| Hypothèse | Calcul | Moyenne |
|---|---|---|
| Toutes les valeurs à la borne basse | (0 × 18 + 10 × 31 + 20 × 24 + 30 × 27) ÷ 100 | 16,0 |
| Valeurs au centre (estimation usuelle) | 2 370 ÷ 100 | 23,7 |
| Toutes les valeurs à la borne haute | (10 × 18 + 20 × 31 + 30 × 24 + 60 × 27) ÷ 100 | 31,4 |
La vraie moyenne est forcément comprise entre 16,0 et 31,4 minutes. Si vous pouvez obtenir les données brutes, utilisez-les.
Le cas des classes ouvertes
Les tableaux publiés comportent souvent une classe ouverte : « moins de 1 000 € » ou « 60 minutes et plus ». Elle n’a pas de centre. Trois solutions :
- Fermer la classe en lui donnant la même amplitude que la précédente (« 60 et plus » devient [60 ; 90[ si la précédente est [30 ; 60[), en le signalant.
- Utiliser une information extérieure (la moyenne de cette classe, si la source la donne).
- Préférer la médiane, qui ne dépend pas des valeurs de la classe extrême tant que la médiane tombe ailleurs.
Pour des revenus ou des patrimoines, la classe supérieure ouverte concentre souvent une part énorme du total : la fermer arbitrairement peut fausser la moyenne de beaucoup. Annoncez alors plutôt une médiane ou des déciles.
Médiane et quartiles de données groupées
On repère la classe où l’effectif cumulé dépasse N ÷ 2, puis on interpole linéairement à l’intérieur.
Médiane du même tableau
N ÷ 2 = 50. Cumul : 49 à la fin de [10 ; 20[, 73 à la fin de [20 ; 30[ : la médiane est dans [20 ; 30[.
Il manque 50 − 49 = 1 individu sur les 24 de la classe. Médiane ≈ 20 + (1 ÷ 24) × 10 ≈ 20,4 minutes.
La médiane (20,4) est inférieure à la moyenne (23,7) : la distribution est étirée vers les longs trajets. Les quartiles se calculent de la même façon, avec N ÷ 4 et 3N ÷ 4. La classe modale, celle qui a la plus forte densité, est [10 ; 20[.
Des données groupées aux probabilités
Un histogramme dont l’aire totale vaut 1 est une approximation de la densité d’une loi continue. La moyenne de données groupées est alors une approximation de l’espérance mathématique de cette loi. Avec un échantillon de plus en plus grand, la moyenne observée se rapproche de l’espérance : c’est la loi des grands nombres. La précision de la moyenne d’un échantillon se mesure, elle, par l’erreur type. Toutes les méthodes sont dans la rubrique calcul de moyenne.
Questions fréquentes
Comment calculer le centre d’une classe ?
Additionnez les deux bornes et divisez par 2 : le centre de [1 500 ; 2 000[ est 1 750.
Peut-on calculer un écart-type avec des données groupées ?
Oui, avec la même approximation : Σnᵢ(cᵢ − x̄)² ÷ N, puis la racine carrée. Le résultat est lui aussi une estimation.
Dans un tableur, comment faire ?
Mettez les centres en colonne A et les effectifs en colonne B, puis =SOMMEPROD(A2:A5;B2:B5)/SOMME(B2:B5).
Sources
- Microsoft, « SOMMEPROD », aide d’Excel, consulté en 2026. support.microsoft.com
- Insee, « Médiane », définition. insee.fr