La formule
IC = [ x̄ − t × s ÷ √n ; x̄ + t × s ÷ √n ]x̄ : moyenne · s : écart-type de l’échantillon (n − 1) · s ÷ √n : erreur type · t : coefficient de Student (1,96 si n est grand, pour 95 %)
Pour une proportion p (grand échantillon) : p ± 1,96 × √[p(1 − p) ÷ n].
Calculer un intervalle de confiance pas à pas
- Calculez la moyenne x̄ et l’écart-type s de l’échantillon.
- Calculez l’erreur type : s ÷ √n (voir erreur type).
- Choisissez le niveau de confiance (95 % en général) et lisez t dans la table de Student avec n − 1 degrés de liberté, ou prenez 1,96 si n dépasse une centaine.
- Calculez la marge : t × erreur type, puis retranchez-la et ajoutez-la à la moyenne.
Exemple : temps de réponse d’un service client
n = 12 mesures, moyenne 12 minutes, écart-type s ≈ 2,34.
Erreur type : 2,34 ÷ √12 ≈ 0,674.
t pour 95 % et 11 degrés de liberté : 2,201.
Marge : 2,201 × 0,674 ≈ 1,48. Intervalle : [12 − 1,48 ; 12 + 1,48] = [10,52 ; 13,48] minutes.
Le coefficient t selon la taille de l’échantillon
Avec un petit échantillon, on estime l’écart-type avec peu de données : la loi de Student, plus étalée que la loi normale, compense cette incertitude supplémentaire. Au-delà d’une centaine d’observations, t est presque égal à 1,96.
| n (taille) | Degrés de liberté | t à 90 % | t à 95 % | t à 99 % |
|---|---|---|---|---|
| 5 | 4 | 2,132 | 2,776 | 4,604 |
| 10 | 9 | 1,833 | 2,262 | 3,250 |
| 12 | 11 | 1,796 | 2,201 | 3,106 |
| 30 | 29 | 1,699 | 2,045 | 2,756 |
| 100 | 99 | 1,660 | 1,984 | 2,626 |
| Très grand | ∞ | 1,645 | 1,960 | 2,576 |
Plus le niveau de confiance est élevé, plus l’intervalle est large : à 99 %, la marge de l’exemple passerait à 3,106 × 0,674 ≈ 2,09 minutes.
Comment interpréter un intervalle de confiance
La lecture correcte est la suivante : si l’on répétait l’échantillonnage un grand nombre de fois et que l’on calculait à chaque fois un intervalle à 95 %, environ 95 % de ces intervalles contiendraient la vraie moyenne de la population. L’intervalle obtenu une fois donne donc une fourchette plausible pour la vraie moyenne, que l’on ne connaît pas.
Un intervalle de confiance à 95 % ne contient pas 95 % des individus. Pour décrire où se trouvent la plupart des valeurs individuelles, utilisez l’écart-type (moyenne ± 2 écarts-types pour une distribution en cloche) ou les quartiles, pas l’intervalle de confiance, qui est beaucoup plus étroit.
La marge d’erreur des sondages
La loi n° 77-808 du 19 juillet 1977 impose qu’un sondage d’opinion publié en France soit accompagné d’une mention précisant que tout sondage est affecté de marges d’erreur, ainsi que des marges d’erreur des résultats publiés, le cas échéant par référence à la méthode aléatoire. Le calcul de référence est celui d’une proportion :
| Taille de l’échantillon | Score de 10 % ou 90 % | Score de 30 % ou 70 % | Score de 50 % |
|---|---|---|---|
| 500 | ± 2,6 | ± 4,0 | ± 4,4 |
| 1 000 | ± 1,9 | ± 2,8 | ± 3,1 |
| 2 000 | ± 1,3 | ± 2,0 | ± 2,2 |
| 5 000 | ± 0,8 | ± 1,3 | ± 1,4 |
Exemple : un candidat crédité de 30 % dans un sondage de 1 000 personnes a, à 95 %, un score réel compris entre environ 27,2 % et 32,8 %. La plupart des instituts français utilisent la méthode des quotas et non un tirage aléatoire ; ces marges sont alors une approximation de l’incertitude réelle.
Les conditions de validité
- Échantillon aléatoire et observations indépendantes. Un biais de sélection ne se corrige pas en élargissant l’intervalle.
- Distribution pas trop asymétrique pour un petit échantillon. Au-delà de 30 à 50 observations, le théorème central limite rend la formule fiable dans la plupart des cas, sauf distributions très étirées.
- Pas de valeur aberrante non vérifiée : une seule valeur extrême gonfle l’écart-type et déplace la moyenne. Voir valeur aberrante.
- Groupes comparables : comparer les intervalles de deux groupes mal équilibrés peut mener au paradoxe de Simpson.
La justification théorique repose sur la loi des grands nombres et le théorème central limite : la moyenne observée fluctue autour de l’espérance selon une loi en cloche de largeur s ÷ √n. Avec des données groupées, calculez d’abord la moyenne et l’écart-type par les centres de classes (moyenne de données groupées). Toutes les méthodes sont dans la rubrique calcul de moyenne.
Dans Excel, Google Sheets et Python
Excel renvoie directement la marge (la demi-largeur de l’intervalle) : =INTERVALLE.CONFIANCE.STUDENT(0,05;ECARTYPE.STANDARD(A2:A13);NB(A2:A13)) donne environ 1,48 sur l’exemple. INTERVALLE.CONFIANCE.NORMAL utilise 1,96 au lieu de t. En Python avec scipy : scipy.stats.t.interval(0.95, n-1, loc=moyenne, scale=erreur_type).
Questions fréquentes
Pourquoi 95 % ?
C’est une convention largement partagée, qui équilibre précision et largeur de l’intervalle. On utilise aussi 90 % ou 99 % selon le risque d’erreur acceptable.
Comment réduire la largeur de l’intervalle ?
En augmentant la taille de l’échantillon : la largeur diminue comme 1 ÷ √n, il faut donc quatre fois plus de données pour la diviser par deux.
Si deux intervalles se chevauchent, les moyennes sont-elles égales ?
Pas nécessairement. Un léger chevauchement est compatible avec une différence significative ; il faut calculer l’intervalle de confiance de la différence des deux moyennes.
Sources
- Légifrance, « Loi n° 77-808 du 19 juillet 1977 relative à la publication et à la diffusion de certains sondages d’opinion », version en vigueur, article 2. legifrance.gouv.fr
- Microsoft, « Fonctions statistiques (référence) » (INTERVALLE.CONFIANCE.STUDENT, INTERVALLE.CONFIANCE.NORMAL), Excel, consulté en 2026. support.microsoft.com