Les deux formules équivalentes
- Avec les effectifs nᵢ
- x̄ = Σ(nᵢ × xᵢ) ÷ N
- Avec les fréquences fᵢ = nᵢ ÷ N
- x̄ = Σ(fᵢ × xᵢ)
- Exemple de la classe de 28 élèves
- ≈ 11,14
N = n₁ + n₂ + … est l’effectif total. Diviser par le nombre de lignes du tableau est l’erreur la plus fréquente.
La méthode en quatre étapes
- Ajoutez une colonne « nᵢ × xᵢ » au tableau.
- Remplissez-la : valeur × effectif, ligne par ligne.
- Additionnez cette colonne, puis la colonne des effectifs (N).
- Divisez la première somme par N.
| Note xᵢ | Effectif nᵢ | nᵢ × xᵢ | Fréquence fᵢ |
|---|---|---|---|
| 6 | 2 | 12 | 7,1 % |
| 8 | 5 | 40 | 17,9 % |
| 10 | 6 | 60 | 21,4 % |
| 12 | 8 | 96 | 28,6 % |
| 14 | 4 | 56 | 14,3 % |
| 16 | 3 | 48 | 10,7 % |
| Total | 28 | 312 | 100 % |
Calcul
Moyenne : 312 ÷ 28 ≈ 11,14.
Erreur classique : diviser par 6 (le nombre de lignes) donnerait 52, absurde pour une note sur 20. Autre erreur : faire la moyenne des six notes sans effectifs, (6 + 8 + 10 + 12 + 14 + 16) ÷ 6 = 11, ce qui ignore que la note 12 est la plus fréquente.
Calculer avec les fréquences
Si le tableau donne des pourcentages plutôt que des effectifs, multipliez chaque valeur par sa fréquence (en décimal) et additionnez : il n’y a plus de division, puisque les fréquences totalisent 1.
Exemple : nombre de pièces des logements d’un quartier
1 pièce : 15 % · 2 pièces : 25 % · 3 pièces : 30 % · 4 pièces : 20 % · 5 pièces : 10 %.
Moyenne : 0,15 × 1 + 0,25 × 2 + 0,30 × 3 + 0,20 × 4 + 0,10 × 5 = 0,15 + 0,5 + 0,9 + 0,8 + 0,5 = 2,85 pièces.
Vérifiez que les fréquences totalisent bien 100 % ; si les pourcentages publiés sont arrondis (99 % ou 101 %), divisez par leur somme réelle. Ce calcul est exactement celui de l’espérance mathématique, où les fréquences sont remplacées par des probabilités. La loi des grands nombres explique pourquoi les deux se rejoignent quand l’effectif devient grand.
Calculez votre moyenne avec effectifs
Saisissez vos valeurs et leurs effectifs ; l’outil fait le calcul Σ(nᵢ × xᵢ) ÷ N. La graduation sur 20 n’est qu’indicative pour des valeurs qui ne sont pas des notes.
Médiane, quartiles et dispersion dans le même tableau
Le tableau d’effectifs sert aussi aux autres indicateurs. Avec les effectifs cumulés (2, 7, 13, 21, 25, 28), la médiane est la moyenne des 14e et 15e notes, toutes deux égales à 12 : médiane = 12. Le premier quartile est la note où le cumul atteint 7 (soit 8), le troisième celle où il atteint 21 (soit 12) : voir quartiles et déciles.
L’écart moyen et la variance se calculent avec la même logique pondérée : Σnᵢ|xᵢ − x̄| ÷ N et Σnᵢ(xᵢ − x̄)² ÷ N. Quand les valeurs sont regroupées en intervalles ([0 ; 5[, [5 ; 10[…) plutôt qu’en valeurs précises, on remplace chaque classe par son centre : c’est la moyenne de données groupées. Toutes les méthodes sont dans la rubrique calcul de moyenne.
Dans un tableur
Avec les valeurs en A2:A7 et les effectifs en B2:B7 : =SOMMEPROD(A2:A7;B2:B7)/SOMME(B2:B7). En Python : statistics.fmean(valeurs, weights=effectifs) (Python 3.11 et plus).
Questions fréquentes
Quelle est la différence entre effectif et fréquence ?
L’effectif est un nombre d’individus (8 élèves) ; la fréquence est la part qu’il représente dans le total (8 ÷ 28 ≈ 28,6 %). Les deux méthodes de calcul donnent la même moyenne.
Faut-il inclure les valeurs d’effectif nul ?
Elles n’ont aucun effet : 0 × xᵢ = 0 et elles n’ajoutent rien à N. Vous pouvez les laisser ou les retirer.
Comment calculer une moyenne avec un diagramme en bâtons ?
Lisez la hauteur de chaque bâton (l’effectif) et la valeur en abscisse, puis appliquez la même formule Σ(nᵢ × xᵢ) ÷ N.
Sources
- Microsoft, « SOMMEPROD », aide d’Excel, consulté en 2026. support.microsoft.com
- Python Software Foundation, « statistics — Fonctions mathématiques pour les statistiques », documentation Python 3. docs.python.org