La formule
ET(x̄) = s ÷ √ns : écart-type de l’échantillon (division par n − 1) · n : nombre d’observations. En anglais : standard error of the mean (SEM).
Pour une proportion p : ET = √[p(1 − p) ÷ n]. Pour diviser l’erreur type par 2, il faut 4 fois plus d’observations.
Comment calculer l’erreur type
- Calculez la moyenne de l’échantillon.
- Calculez l’écart-type s de l’échantillon, en divisant par n − 1 (voir écart-type).
- Divisez s par √n.
Exemple : temps de réponse d’un service client (minutes)
Douze mesures : 11, 14, 9, 12, 15, 10, 13, 12, 16, 8, 12, 12.
Moyenne : 144 ÷ 12 = 12 minutes. Écart-type (n − 1) : s ≈ 2,34 minutes.
Erreur type : 2,34 ÷ √12 ≈ 2,34 ÷ 3,46 ≈ 0,67 minute.
Lecture : si l’on refaisait l’échantillonnage de nombreuses fois, les moyennes obtenues varieraient typiquement d’environ 0,67 minute autour de la vraie moyenne.
Erreur type ou écart-type : la différence
| Critère | Écart-type | Erreur type de la moyenne |
|---|---|---|
| Ce qu’il mesure | La dispersion des individus | L’incertitude sur la moyenne |
| Question à laquelle il répond | Les valeurs sont-elles homogènes ? | La moyenne est-elle précise ? |
| Effet d’un échantillon plus grand | Se stabilise autour de la vraie valeur | Diminue comme 1 ÷ √n |
| Exemple (s = 6) | 6 quelle que soit la taille | 1,2 pour n = 25 ; 0,6 pour n = 100 |
Les deux sont souvent confondus sur les graphiques à « barres d’erreur ». Une barre de ± 1 erreur type est beaucoup plus courte qu’une barre de ± 1 écart-type : vérifiez toujours la légende avant de conclure que deux groupes se chevauchent ou non.
D’où vient la formule ?
La moyenne de n observations indépendantes de variance σ² a une variance σ² ÷ n (la variance d’une somme de variables indépendantes est la somme des variances, et l’on divise ensuite la somme par n, ce qui divise la variance par n²). Son écart-type est donc σ ÷ √n. Comme σ est inconnu, on le remplace par son estimation s.
C’est la traduction chiffrée de la loi des grands nombres : la moyenne se rapproche de l’espérance, et l’erreur type indique à quelle vitesse.
| n | √n | Erreur type |
|---|---|---|
| 4 | 2 | 3 |
| 25 | 5 | 1,2 |
| 100 | 10 | 0,6 |
| 400 | 20 | 0,3 |
| 10 000 | 100 | 0,06 |
Erreur type d’une proportion
Pour un pourcentage (part de clients satisfaits, intentions de vote), l’écart-type d’une réponse oui/non vaut √[p(1 − p)]. Avec 30 % de « oui » sur 500 personnes : ET = √(0,3 × 0,7 ÷ 500) ≈ 0,0205, soit environ 2 points. La marge à 95 % vaut environ 1,96 × 2 ≈ 4 points. La construction de cette marge est expliquée sur la page intervalle de confiance d’une moyenne.
Correction pour petite population
Si l’échantillon représente une part importante de la population (plus de 5 % environ), on multiplie l’erreur type par √[(N − n) ÷ (N − 1)]. Pour 500 personnes interrogées sur 2 000 salariés : √(1 500 ÷ 1 999) ≈ 0,87, soit une erreur type réduite de 13 %. Si l’on interroge tout le monde (n = N), l’erreur type devient nulle.
Les limites de l’erreur type
- Elle suppose un tirage au hasard. Un échantillon biaisé (seuls les volontaires répondent) peut avoir une erreur type minuscule et une moyenne fausse.
- Elle suppose des observations indépendantes. Des mesures répétées sur les mêmes personnes, ou des élèves d’une même classe, sont corrélées : l’erreur type réelle est plus grande.
- Elle est sensible aux valeurs aberrantes, via l’écart-type : voir valeur aberrante.
- Elle ne protège pas des effets de structure : une moyenne très précise peut être trompeuse si elle mélange des groupes différents, comme le montre le paradoxe de Simpson.
Pour des données présentées en classes, calculez d’abord la moyenne et l’écart-type groupés (moyenne de données groupées), puis appliquez la formule. Toutes les méthodes sont dans la rubrique calcul de moyenne.
Dans Excel, Google Sheets et Python
Excel n’a pas de fonction dédiée : =ECARTYPE.STANDARD(A2:A13)/RACINE(NB(A2:A13)). En Python : statistics.stdev(x) / math.sqrt(len(x)), ou scipy.stats.sem(x).
Questions fréquentes
Faut-il diviser par n ou par n − 1 dans l’écart-type ?
Par n − 1, puisque l’on travaille sur un échantillon. Pour de grands échantillons, la différence est négligeable.
Une erreur type est-elle « bonne » ou « mauvaise » ?
Elle se juge par rapport à la précision dont vous avez besoin. Une erreur type de 0,67 minute sur un temps moyen de 12 minutes (environ 6 %) suffit pour un tableau de bord, peut-être pas pour une étude scientifique.
Pourquoi l’erreur type ne diminue-t-elle pas proportionnellement à n ?
Parce que les erreurs individuelles se compensent en partie seulement : la variance de la moyenne baisse comme 1 ÷ n, donc l’écart-type comme 1 ÷ √n.
Sources
- Python Software Foundation, « statistics — Fonctions mathématiques pour les statistiques », documentation Python 3. docs.python.org
- Microsoft, « Fonctions statistiques (référence) » (ECARTYPE.STANDARD, NB), Excel, consulté en 2026. support.microsoft.com