La bonne formule
moyenne globale = (n₁ × m₁ + n₂ × m₂ + …) ÷ (n₁ + n₂ + …)m₁, m₂ : les moyennes de chaque groupe · n₁, n₂ : le nombre de valeurs de chaque groupe
La moyenne simple des moyennes, (m₁ + m₂ + …) ÷ k, ne donne le bon résultat que si tous les groupes ont le même effectif.
Pourquoi la moyenne de moyennes est souvent fausse
Une moyenne résume une somme : 30 élèves à 12 de moyenne, c’est 360 points au total. En faisant la moyenne de deux moyennes, on donne le même poids à chaque groupe, quel que soit son nombre de membres. Le petit groupe se retrouve surreprésenté et le grand groupe sous-représenté.
Exemple : deux classes d’un même niveau
Classe A : 30 élèves, moyenne 12. Classe B : 10 élèves, moyenne 16.
Moyenne des deux moyennes : (12 + 16) ÷ 2 = 14 (faux).
Total des points : 30 × 12 + 10 × 16 = 360 + 160 = 520. Total des élèves : 40.
Moyenne réelle des 40 élèves : 520 ÷ 40 = 13.
L’écart d’un point vient uniquement de la différence d’effectifs. C’est un cas particulier de moyenne pondérée, où les poids sont les effectifs des groupes.
Quand la moyenne de moyennes est-elle correcte ?
| Situation | Moyenne simple des moyennes |
|---|---|
| Groupes de même effectif (deux classes de 25 élèves) | Juste |
| Trimestres comptant le même nombre de notes de même coefficient | Juste |
| Moyenne annuelle définie officiellement comme la moyenne des trimestres | Juste, par convention |
| Classes, villes ou magasins d’effectifs différents | Fausse : pondérer par l’effectif |
| Taux ou pourcentages calculés sur des bases différentes | Fausse : pondérer par la base |
| Vitesses moyennes sur des étapes de durées différentes | Fausse : repartir distance ÷ temps |
Le cas des bulletins scolaires est particulier : beaucoup d’établissements calculent la moyenne annuelle comme la moyenne des trois moyennes trimestrielles, même si les trimestres n’ont pas le même nombre de notes. Ce n’est pas une erreur, c’est une règle de calcul choisie. Elle ne donne simplement pas le même résultat que la moyenne de toutes les notes de l’année.
Calculer la vraie moyenne globale pas à pas
- Reconstituez la somme de chaque groupe : effectif × moyenne.
- Additionnez ces sommes.
- Additionnez les effectifs.
- Divisez la somme totale par l’effectif total.
| Magasin | Tickets | Panier moyen | Chiffre d’affaires |
|---|---|---|---|
| Centre-ville | 8 000 | 25 € | 200 000 € |
| Périphérie | 3 000 | 60 € | 180 000 € |
| Gare | 9 000 | 10 € | 90 000 € |
| Total | 20 000 | 23,50 € | 470 000 € |
La moyenne simple des trois paniers moyens donnerait (25 + 60 + 10) ÷ 3 ≈ 31,67 €. Le vrai panier moyen de l’enseigne est 470 000 ÷ 20 000 = 23,50 €, car le magasin de périphérie, au gros panier, compte peu de tickets.
Le même piège avec les pourcentages et les vitesses
Un pourcentage est une moyenne déguisée (une proportion de « oui » parmi des réponses). Faire la moyenne de deux taux calculés sur des bases différentes pose donc le même problème : pondérez chaque taux par sa base, comme expliqué sur la page moyenne de pourcentages.
Pour des vitesses, le poids pertinent est le temps passé. Une heure à 60 km/h puis une heure à 100 km/h donne bien 80 km/h, mais 60 km à 60 km/h puis 60 km à 120 km/h donne 120 km en 1 h 30, soit 80 km/h aussi… alors que la moyenne simple 60 et 120 donnerait 90. Le même raisonnement vaut pour les moyennes de durées issues de groupes de tailles différentes.
Pondérer par les effectifs peut aussi produire un résultat surprenant : un groupe peut avoir une meilleure moyenne dans chaque sous-catégorie et une moins bonne au total. C’est le paradoxe de Simpson, présenté sur la page paradoxe de Simpson.
Et si l’on ne connaît pas les effectifs ?
Sans les effectifs, la vraie moyenne globale est impossible à calculer exactement. Vous pouvez seulement l’encadrer : elle est toujours comprise entre la plus petite et la plus grande des moyennes de groupe (12 et 16 dans l’exemple des classes). Annoncez alors la moyenne simple des moyennes comme ce qu’elle est, « la moyenne des groupes », et non comme la moyenne de tous les individus.
Dans un tableur, si les moyennes sont en B2:B10 et les effectifs en C2:C10 : =SOMMEPROD(B2:B10;C2:C10)/SOMME(C2:C10). Les bases de la moyenne arithmétique et les autres méthodes sont réunies dans la rubrique calcul de moyenne.
Questions fréquentes
Peut-on faire la moyenne de médianes ?
Non, la médiane de l’ensemble ne se déduit pas des médianes des groupes, même pondérées. Il faut repartir des données brutes ; voir la différence entre moyenne et médiane.
La moyenne de moyennes avec des nombres négatifs pose-t-elle un problème particulier ?
Non, la méthode est la même : effectif × moyenne pour chaque groupe, en gardant les signes. La règle des signes est rappelée sur la page moyenne avec des nombres négatifs.
Pourquoi ma moyenne générale Pronote ne correspond-elle pas à la moyenne de mes notes ?
Parce que la moyenne générale est le plus souvent une moyenne des moyennes de matières, pondérée par les coefficients des matières et non par le nombre de notes. Chaque matière pèse selon son coefficient, quel que soit le nombre de devoirs.
Sources
- Microsoft, « SOMMEPROD », aide d’Excel, consulté en 2026. support.microsoft.com
- Bickel P. J., Hammel E. A., O’Connell J. W., « Sex Bias in Graduate Admissions: Data from Berkeley », Science, vol. 187, 1975 (exemple classique d’agrégation de taux de groupes inégaux).