La formule
H = n ÷ (1/x₁ + 1/x₂ + … + 1/xₙ)Valeurs strictement positives. Pour deux nombres : H = 2ab ÷ (a + b).
Excel : MOYENNE.HARMONIQUE · Python : statistics.harmonic_mean · Exemple : H(60 ; 120) = 80.
Comment calculer une moyenne harmonique
- Prenez l’inverse de chaque valeur (1 ÷ x).
- Faites la moyenne arithmétique de ces inverses.
- Reprenez l’inverse du résultat.
Exemple : trois valeurs
Valeurs : 2, 3 et 6. Inverses : 0,5 ; 0,333 ; 0,167. Somme des inverses : 1.
Moyenne des inverses : 1 ÷ 3. Moyenne harmonique : 3 ÷ 1 = 3.
Comparaison : moyenne arithmétique (2 + 3 + 6) ÷ 3 ≈ 3,67 ; moyenne géométrique 36^(1/3) ≈ 3,30.
Quand utiliser la moyenne harmonique ?
La règle : utilisez-la pour moyenner des rapports (quelque chose « par » quelque chose) quand c’est le numérateur qui est fixe d’une observation à l’autre.
| Situation | Rapport moyenné | Ce qui est fixe |
|---|---|---|
| Trajets de même distance à des vitesses différentes | km/h | La distance |
| Achats d’un même montant à des prix différents | €/litre, €/action | Le budget |
| Résistances électriques en parallèle (résistance équivalente = H ÷ n) | ohms | La tension |
| Score F1 en apprentissage automatique | précision et rappel | Définition du score |
| Ratio cours/bénéfice moyen d’un portefeuille équipondéré | PER | Le montant investi par titre |
Vitesses sur des distances égales
Exemple : aller-retour de 120 km
Aller à 60 km/h (2 h), retour à 120 km/h (1 h). Distance : 240 km ; temps : 3 h ; vitesse moyenne : 80 km/h.
Moyenne harmonique : 2 ÷ (1/60 + 1/120) = 2 ÷ (3/120) = 80 km/h, le même résultat.
Si les durées sont égales (et non les distances), c’est la moyenne arithmétique qui convient. Le calcul de vitesse moyenne détaille les deux cas.
Prix moyen avec un budget fixe
Exemple : deux pleins de 100 €
Premier plein à 1,80 €/L : 100 ÷ 1,80 ≈ 55,56 L. Second à 2,00 €/L : 50 L.
Prix moyen réellement payé : 200 € ÷ 105,56 L ≈ 1,895 €/L.
Moyenne harmonique de 1,80 et 2,00 : 2 ÷ (1/1,80 + 1/2,00) ≈ 1,895. La moyenne simple (1,90 €) surestime, car on achète plus de litres quand le prix est bas.
C’est le principe des versements programmés à montant constant en Bourse : le prix de revient moyen est la moyenne harmonique des cours d’achat. Si, à l’inverse, la quantité achetée est fixe (50 litres à chaque fois), c’est la moyenne arithmétique des prix qui s’applique.
Le score F1
En classification, le score F1 est la moyenne harmonique de la précision et du rappel : F1 = 2PR ÷ (P + R). Avec P = 0,9 et R = 0,5, F1 = 0,9 ÷ 1,4 ≈ 0,64, alors que la moyenne arithmétique vaudrait 0,70. La moyenne harmonique punit le déséquilibre entre les deux mesures.
Propriétés à retenir
- Toujours la plus petite des moyennes classiques : H ≤ G ≤ A ≤ Q pour des valeurs positives (voir moyenne géométrique et moyenne quadratique). L’égalité n’a lieu que si toutes les valeurs sont égales.
- Tirée vers les petites valeurs : une valeur proche de zéro fait chuter la moyenne harmonique. Avec 1 et 100, H ≈ 1,98 alors que A = 50,5.
- Pour deux nombres, G² = A × H : la moyenne géométrique est la moyenne géométrique des deux autres. Pour 60 et 120 : A = 90, H = 80, et G = √(90 × 80) ≈ 84,85 = √(60 × 120).
- Version pondérée : H = (w₁ + … + wₙ) ÷ (w₁/x₁ + … + wₙ/xₙ), utile pour des distances ou des budgets inégaux.
La moyenne harmonique n’est pas définie si une valeur est nulle (division par zéro) et n’a pas de sens avec des valeurs négatives. Excel renvoie l’erreur #NOMBRE! si une valeur est inférieure ou égale à zéro.
Dans Excel, Google Sheets et Python
| Outil | Syntaxe |
|---|---|
| Excel / Google Sheets (français) | =MOYENNE.HARMONIQUE(A2:A10) |
| Sans fonction dédiée | =NB(A2:A10)/SOMMEPROD(1/A2:A10) |
| Python | statistics.harmonic_mean(x), avec un argument weights depuis Python 3.10 |
La moyenne harmonique ne sert pas à lisser une série chronologique ni à écarter des valeurs extrêmes : pour cela, voyez la moyenne tronquée, la moyenne mobile et la moyenne mobile exponentielle. Pour des taux de croissance enchaînés, c’est le taux de croissance annuel moyen qu’il faut calculer. Les autres méthodes sont dans la rubrique calcul de moyenne.
Questions fréquentes
Pourquoi la moyenne harmonique est-elle plus petite que la moyenne arithmétique ?
Parce que l’inverse grossit les petites valeurs : 1/2 pèse plus lourd que 1/100 dans la somme des inverses. Les petites valeurs dominent donc le résultat.
Quelle est la moyenne harmonique de 4 et 12 ?
2 × 4 × 12 ÷ (4 + 12) = 96 ÷ 16 = 6. La moyenne arithmétique vaut 8.
D’où vient le nom « harmonique » ?
De la musique antique : les longueurs de corde 1, 2/3 et 1/2 (octave et quinte) sont liées par cette moyenne, 2/3 étant la moyenne harmonique de 1 et 1/2.
Sources
- Microsoft, « MOYENNE.HARMONIQUE », aide d’Excel, consulté en 2026. support.microsoft.com
- Python Software Foundation, « statistics — Fonctions mathématiques pour les statistiques », documentation Python 3. docs.python.org